On considère une urne dans laquelle se trouve 10 boules rouges et 20 boules bleues.
1) On tire des boules une par une en les remettant dans l’urne à chaque fois. Il s’agit d’un tirage avec remise, appelé aussi tirage indépendant.
La
probabilité de l’événement R : « on tire une boule rouge »
est toujours la même : le nombre de cas favorables est toujours égal à 10,
et le nombre de cas possibles à 30. On a :
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P(R) = 1/3 |
L’événement : R2 = « la première boule rouge tirée est la seconde » signifie que la première boule tirée était bleue. En notant B l’événement « la première boule tirée est bleue », on a :
R2 = BÇR et P(R2)= P[BÇR]
Les événements R et B sont indépendants :
P[RÇB] = P(R) P(B)
D’où :
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2 |
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1 |
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2 |
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P(R2) = |
___ |
x |
___ |
= |
___ |
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3 |
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3 |
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9 |
Par un raisonnement analogue, on obtient la probabilité de l’événement R3 : « la première boule rouge tirée est la troisième » :
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2 |
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1 |
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1 |
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2 |
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P(R3) = |
___ |
x |
___ |
x |
___ |
= |
___ |
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3 |
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3 |
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3 |
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27 |
Le cas général est évident :
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2 |
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1 |
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P(Rn) = |
___ |
x |
___ |
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3 |
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3n-1 |
2) Soit C l’événement : « parmi les n premières boules tirées, il y a au moins une boule rouge ». L’événement complémentaire est CC = les n premières boules tirées sont bleues ». On a évidemment :
P(CC) = (2/3)n
D’où :
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P(C) = 1 - (2/3)n |
L’événement C s’écrit aussi :
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la première boule rouge tirée est la première |
R1 |
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ou |
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la première boule rouge tirée est la deuxième |
R2 |
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… |
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la première boule rouge tirée est la nième |
Rn |
Soit
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C = R1 È R2 È R3 È…È Rn |
Les événements R1, R2, …Rn sont disjoints et la probabilité de l’union est la somme des probabilités (cf. ex. 1) :
P(C) = P(R1) + P(R2)
+ P(R3) + …+ P(Rn)
En appliquant les formules précédentes, on en déduit :
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n-1 |
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P(C) |
S |
1/3 x
[2/3]i = 1 – [2/3]n |
3) On cherche n tel que :
P(C) = 1 –(2/3)n > 0.95
ou encore :
(2/3)n < 0.05
Pour trouver n, on peut passer au logarithme :
n ln(2/3)
< ln(0.05)
Attention : ln(2/3) est négatif !
n >
ln(0.05)/ ln(2/3)
n > 7.38
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n ³ 8 |
On peut aussi procéder par calcul : on sait que la suite (2/3)n tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. On effectue le calcul pour n = 1, 2, 3, … jusqu’à l’obtention d’une valeur inférieure à 0.05.